品質管理の基本|初心者に分かりやすいサイト > 正規分布から偏差値を計算する
正規分布から偏差値を計算する方法と考え方を説明しています。「正規分布」単体のページと合せてご覧ください。
度数分布表を描いてみると、平均値の周辺が一山(一峰性)になって放物線上になっており、平均値から離れるに
したがって、すそ野のようになだらかになるという形状がよく見られます。こうした分布は、理想的には
「正規分布」と呼ばれており、自然界や社会の中で数多くみられます。その形が釣鐘に似ていることから、
ベルカーブとも呼ばれます。分布の形がだいたい正規分布にしたがっている時に、標準偏差を便利に使うことが
できます。平均値を中心にして標準偏差分だけ上下に離れた部分の面積は、全体の68%に該当します。
要するに「平均値±標準偏差×1」で全体の約68%をカバーすることができる、という意味です。68%では
足りない場合は、標準偏差の2つ分を上下に取ります。すると「平均値±標準偏差×2」で全体の約95%をカバー
することができます。さらに標準偏差の3つ分を上下に取ると、全体の約99.7%がカバーできます。例えば、
あるクラスの児童全員の体重について、平均値と標準偏差が計算されていれば、平均値±標準偏差の中に、クラスの
68%が含まれることが分かります。さらに平均値±標準偏差×2の中には、クラスの95%が含まれる、
ということになります。
偏差値は正規分布を前提としています。大学受験のときなどによく耳にした「偏差値」があります。これは
どういったものかというと、偏差値というのは全体の分布を、平均値を50、標準偏差を10になるように変換した
時の値です。全体の分布がどういったものであるかは、平均値と標準偏差によって知ることができます。
しかしながら自分の点数が全体のどの位置にあるかを知るためには、自分の点数と全体の平均値、標準偏差を比較
しなくてはなりません。そこで全体の分布を、平均値を50、標準偏差を10になるように変換して偏差値として
おけば、その偏差値が全体のどの位置にあるのかがすぐに分かるようになります。先ほど説明したように、
「平均値±標準偏差×1」で全体の68%をカバーしますので、偏差値では、50±10、つまり偏差値40~60の
間に全体の68%が入ります。68%以外の人は32%ですので、その半分の16%が偏差値60よりも高い人と
なり、同様にもう一方の16%の人は、偏差値が40よりも低い人ということになります。つまりは、偏差値60と
いうことは、高い方から数えて16%くらいの位置にいるということになります。
(例えば100人が受けたテストで、自分の偏差値が60であった場合、順位的には16番目くらい、ということになります。)
同様に、50±20、つまり偏差値30~70で全体の95%をカバーするわけですから、偏差値70ということは、
高い方から数えて、2.5%(5%の半分)くらいの位置にいるということになります。